考点02 一元二次方程的解法
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题目（12 题，待确认 0 题）
第 1 题
一元二次方程一元二次方程的解法
8 分（估计）
（24-25 九年级上·山西朔州·月考）用适当的方法解下列方程：
(1) x2 - 6x - 18 = 0；
(2) 2(x - 3)2 = x2 - 9．
(1) x2 - 6x - 18 = 0；
(2) 2(x - 3)2 = x2 - 9．
第 2 题
一元二次方程一元二次方程的解法
8 分（估计）
2．（25-26 九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程：
(1) x2-4x-1=0；
(2) (x+1)(3x-1)=1；
(3) 3x2-5x+1=0；
(4) 2(2x-1)2=6x-3．
(1) x2-4x-1=0；
(2) (x+1)(3x-1)=1；
(3) 3x2-5x+1=0；
(4) 2(2x-1)2=6x-3．
第 3 题
一元二次方程一元二次方程的解法
8 分（估计）
解下列方程：
(1)(2x-1)^2=9；
(2)x^2-4x-7=0；
(3)2x^2-5x+2=0；
(4)(x-3)^2+2x(x-3)=0．
(1)(2x-1)^2=9；
(2)x^2-4x-7=0；
(3)2x^2-5x+2=0；
(4)(x-3)^2+2x(x-3)=0．
第 4 题
一元二次方程一元二次方程的解法因式分解
8 分（估计）
4．（25-26 九年级上·海南·期中）解下列方程：
(1) \((2x-1)^2-25=0\)；
(2) \(3x(x-1)=2(x-1)\)；
(3) \(x^2-2x-2=0\)；
(4) \(4(x-1)^2=9(x+1)^2\)．
(1) \((2x-1)^2-25=0\)；
(2) \(3x(x-1)=2(x-1)\)；
(3) \(x^2-2x-2=0\)；
(4) \(4(x-1)^2=9(x+1)^2\)．
第 5 题
一元二次方程一元二次方程的解法
8 分（估计）
按要求解方程：
(1) 3(x-1)2-27=0；（用直接开平方法）
(2) x2-6x-4=0；（用配方法）
(3) x2-3x-1=0；（用公式法）
(4) 5x(x-3)+2(x-3)=0；（用因式分解法）
(1) 3(x-1)2-27=0；（用直接开平方法）
(2) x2-6x-4=0；（用配方法）
(3) x2-3x-1=0；（用公式法）
(4) 5x(x-3)+2(x-3)=0；（用因式分解法）
第 6 题
一元二次方程的解法因式分解
8 分（估计）
6．（25-26 九年级上·云南昭通·期末）（1）解一元二次方程：2x²-2√2x+1=0。
（2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务。
解方程：3x(x-1)=2x-2。
解：方程右侧提取公因式得：3x(x-1)=2(x-1)……第一步
移项，得：3x(x-1)-2(x-1)=0……第二步
方程两边同时除以(x-1)，得：3x-2=0……第三步
移项，得：3x=2……第四步
系数化为1，得x=2/3……第五步
回答下列问题：
①这位同学的解法从第________步开始出现错误；
②此方程正确的解应该是________。
（2）下面是某同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务。
解方程：3x(x-1)=2x-2。
解：方程右侧提取公因式得：3x(x-1)=2(x-1)……第一步
移项，得：3x(x-1)-2(x-1)=0……第二步
方程两边同时除以(x-1)，得：3x-2=0……第三步
移项，得：3x=2……第四步
系数化为1，得x=2/3……第五步
回答下列问题：
①这位同学的解法从第________步开始出现错误；
②此方程正确的解应该是________。
第 7 题
一元二次方程的解法新定义问题
8 分（估计）
7．（25-26 九年级上·湖南衡阳·期中）阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为 i2=-1，这个数 i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 a+bi（a，b为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程 x2=-1，解得 x1=i，x2=-i．
同样我们也可以化简 √(-4)=√(4×(-1))=√(22×i2)=2i．
读完这段文字，请解答以下问题：
(1)填空：i3=______，i4=______，i6=______，
(2)在复数范围内解方程：(x-1)2=-1；
(3)在复数范围内解方程：x2-4x+8=0．
定义：如果一个数的平方等于-1，记为 i2=-1，这个数 i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为 a+bi（a，b为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程 x2=-1，解得 x1=i，x2=-i．
同样我们也可以化简 √(-4)=√(4×(-1))=√(22×i2)=2i．
读完这段文字，请解答以下问题：
(1)填空：i3=______，i4=______，i6=______，
(2)在复数范围内解方程：(x-1)2=-1；
(3)在复数范围内解方程：x2-4x+8=0．
第 8 题
一元二次方程的解法新定义问题整式运算
8 分（估计）
定义：如果一个数 i 的平方等于 -1，记为 i2=-1，那么这个数 i 叫做虚数单位．我们把形如 a+bi（a，b 为实数）的数叫做复数，a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3=____，i4=____，i+i2+i3+…+i1001=____．
(2)已知 (a+i)(b+i)=1-3i，写出一个以 a，b 的值为解的一元二次方程．
(3)在复数范围内解方程：x2-4x+8=0．
读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3=____，i4=____，i+i2+i3+…+i1001=____．
(2)已知 (a+i)(b+i)=1-3i，写出一个以 a，b 的值为解的一元二次方程．
(3)在复数范围内解方程：x2-4x+8=0．
第 9 题
一元二次方程新定义问题根与系数的关系
8 分（估计）
9．（24-25 九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 与 cx2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如 2x2-7x+3=0 的“友好方程”是 3x2-7x+2=0．
(1)写出一元二次方程 x2+3x-10=0 的“友好方程”________；
(2)已知一元二次方程 x2+3x-10=0 的两根为 x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的两根 x3=________，x4=________．根据以上结论，猜想 ax2+bx+c=0 的两根 x1，x2，与其“友好方程” cx2+bx+a=0 的两根 x3，x4 之间存在的一种特殊关系为________；
(3)已知关于 x 的方程 2024x2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=1/2024，请利用（2）中的结论，求出关于 x 的方程 c(x-1)2+bx-b=-2024 的两根．
(1)写出一元二次方程 x2+3x-10=0 的“友好方程”________；
(2)已知一元二次方程 x2+3x-10=0 的两根为 x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的两根 x3=________，x4=________．根据以上结论，猜想 ax2+bx+c=0 的两根 x1，x2，与其“友好方程” cx2+bx+a=0 的两根 x3，x4 之间存在的一种特殊关系为________；
(3)已知关于 x 的方程 2024x2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=1/2024，请利用（2）中的结论，求出关于 x 的方程 c(x-1)2+bx-b=-2024 的两根．
第 10 题
一元二次方程一元二次方程的解法
8 分（估计）
解方程 x4-5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为①，解得 y1=1，y2=4。
当 y1=1 时，x2=1，x=±1；当 y2=4 时，x2=4，x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2。
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想。
(2)已知实数 x，y 满足 (x2+y2+3)2-7x2-7y2-3=26，求 x2+y2 的值；
(3)解方程：(x2+x)2-4(x2+x)-12=0。
设 x2=y，那么 x4=y2，于是原方程可变为①，解得 y1=1，y2=4。
当 y1=1 时，x2=1，x=±1；当 y2=4 时，x2=4，x=±2；
∴原方程有四个根：x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2。
(1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想。
(2)已知实数 x，y 满足 (x2+y2+3)2-7x2-7y2-3=26，求 x2+y2 的值；
(3)解方程：(x2+x)2-4(x2+x)-12=0。
第 11 题
一元二次方程新定义问题根与系数的关系
8 分（估计）
11．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）定义：我们把关于x的一元二次方程 ax^2+bx+c=0 与 cx^2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”。如 2x^2-7x+3=0 的“友好方程”是 3x^2-7x+2=0。
(1)写出一元二次方程 x^2+2x-8=0 的“友好方程”：________；
(2)已知一元二次方程 x^2+2x-8=0 的两根为 x1=2，x2=-4，它的“友好方程”的两根为 x3=1/2，x4=________。根据以上结论，猜想 ax^2+bx+c=0 的两根 x1，x2 与其“友好方程” cx^2+bx+a=0 的两根 x3，x4 之间存在的一种特殊关系为________，请证明你的结论；
(3)已知关于x的方程 2025x^2+bx-1=0 的两根是 x1=-1，x2=1/2025。请利用(2)中的结论，直接写出关于x的方程 (x-1)^2-bx+b=2025 的两根。
(1)写出一元二次方程 x^2+2x-8=0 的“友好方程”：________；
(2)已知一元二次方程 x^2+2x-8=0 的两根为 x1=2，x2=-4，它的“友好方程”的两根为 x3=1/2，x4=________。根据以上结论，猜想 ax^2+bx+c=0 的两根 x1，x2 与其“友好方程” cx^2+bx+a=0 的两根 x3，x4 之间存在的一种特殊关系为________，请证明你的结论；
(3)已知关于x的方程 2025x^2+bx-1=0 的两根是 x1=-1，x2=1/2025。请利用(2)中的结论，直接写出关于x的方程 (x-1)^2-bx+b=2025 的两根。
第 12 题
一元二次方程一元二次方程的解法分类讨论
8 分（估计）
12．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题：
换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题：
(1)解方程：(x^2-x)^2-4(x^2-x)-12=0；
(2)已知实数x，y满足(x^2+y^2)(x^2+y^2-12)=45，求x^2+y^2的值；
(3)解方程：x^2-3|x|+2=0；
(4)解方程：(4x-5)^2+(3x-2)^2=(x-3)^2．
换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题：
(1)解方程：(x^2-x)^2-4(x^2-x)-12=0；
(2)已知实数x，y满足(x^2+y^2)(x^2+y^2-12)=45，求x^2+y^2的值；
(3)解方程：x^2-3|x|+2=0；
(4)解方程：(4x-5)^2+(3x-2)^2=(x-3)^2．
