家庭中考数学指南
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修改第 9 题
题干
9．（24-25 九年级上·江西吉安·期中）定义：我们把关于 x 的一元二次方程 ax^2+bx+c=0 与 cx^2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”．如 2x^2-7x+3=0 的“友好方程”是 3x^2-7x+2=0． (1)写出一元二次方程 x^2+3x-10=0 的“友好方程”________； (2)已知一元二次方程 x^2+3x-10=0 的两根为 x1=2，x2=-5，它的“友好方程”的两根 x3=________，x4=________．根据以上结论，猜想 ax^2+bx+c=0 的两根 x1，x2，与其“友好方程” cx^2+bx+a=0 的两根 x3，x4 之间存在的一种特殊关系为________； (3)已知关于 x 的方程 2024x^2+bx+c=0 的两根是 x1=-1，x2=1/2024，请利用（2）中的结论，求出关于 x 的方程 c(x-1)^2+bx-b=-2024 的两根．
答案
解析
（1）由定义，x^2+3x-10=0中a=1，b=3，c=-10，所以它的“友好方程”为-10x^2+3x+1=0，即10x^2-3x-1=0。 （2）解-10x^2+3x+1=0，得10x^2-3x-1=0，即(2x-1)(5x+1)=0，所以x3=1/2，x4=-1/5。由于原方程两根为2，-5，它们分别与1/2，-1/5互为倒数，因此猜想：“友好方程”的两根分别是原方程两根的倒数，即x3=1/x1，x4=1/x2。 一般地，由根与系数的关系可验证：原方程两根x1，x2满足x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，则1/x1+1/x2=(x1+x2)/(x1x2)=-b/c，(1/x1)(1/x2)=a/c，这正是方程cx^2+bx+a=0的两根之和与两根之积，所以结论成立。 （3）令t=x-1，则方程c(x-1)^2+bx-b=-2024化为ct^2+bt+2024=0，即ct^2+bt+a=0，其中a=2024。它正是2024x^2+bx+c=0的“友好方程”。由（2）可知，它的两根分别是原方程两根-1和1/2024的倒数，即-1和2024。因此t=-1或t=2024，所以x-1=-1或x-1=2024，解得x=0或x=2025。
分值（原卷上的分值）
状态
确认无误
仍需确认
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