家庭中考数学指南
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修改第 11 题
题干
11．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）定义：我们把关于x的一元二次方程 ax^2+bx+c=0 与 cx^2+bx+a=0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”。如 2x^2-7x+3=0 的“友好方程”是 3x^2-7x+2=0。 (1)写出一元二次方程 x^2+2x-8=0 的“友好方程”：________； (2)已知一元二次方程 x^2+2x-8=0 的两根为 x1=2，x2=-4，它的“友好方程”的两根为 x3=1/2，x4=________。根据以上结论，猜想 ax^2+bx+c=0 的两根 x1，x2 与其“友好方程” cx^2+bx+a=0 的两根 x3，x4 之间存在的一种特殊关系为________，请证明你的结论； (3)已知关于x的方程 2025x^2+bx-1=0 的两根是 x1=-1，x2=1/2025。请利用(2)中的结论，直接写出关于x的方程 (x-1)^2-bx+b=2025 的两根。
答案
解析
(1) 由“友好方程”的定义，x^2+2x-8=0 中 a=1，b=2，c=-8，所以其“友好方程”为 -8x^2+2x+1=0，即 8x^2-2x-1=0。 (2) “友好方程”为 -8x^2+2x+1=0。由根与系数的关系，x3+x4=-2/(-8)=1/4，又 x3=1/2，所以 x4=1/4-1/2=-1/4。 猜想：x3=1/x1，x4=1/x2（两根可交换），即“友好方程”的两根分别是原方程两根的倒数。 证明：设 x0 是方程 ax^2+bx+c=0 的任一根，则 ax0^2+bx0+c=0。因为 ac≠0，若 x0=0，则 c=0，矛盾，所以 x0≠0。两边同除以 x0^2，得 a+b(1/x0)+c(1/x0)^2=0，即 c(1/x0)^2+b(1/x0)+a=0。因此 1/x0 是方程 cx^2+bx+a=0 的根。故“友好方程”的两根分别是原方程两根的倒数，即 x3=1/x1，x4=1/x2（顺序可交换）。 (3) 由(2)知，2025x^2+bx-1=0 的“友好方程”为 -x^2+bx+2025=0，其两根为原方程两根的倒数，即 -1 和 2025。令 t=x-1，则 (x-1)^2-bx+b=2025 可化为 t^2-bt=2025，即 -t^2+bt+2025=0，因此 t 的根为 -1 和 2025。所以 x-1=-1 或 x-1=2025，解得 x=0 或 x=2026。
分值（原卷上的分值）
状态
确认无误
仍需确认
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