家庭中考数学指南
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修改第 10 题
题干
解方程 x^4-5x^2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设 x^2=y，那么 x^4=y^2，于是原方程可变为①，解得 y_1=1，y_2=4。当 y_1=1 时，x^2=1，x=±1；当 y_2=4 时，x^2=4，x=±2；原方程有四个根：x_1=1，x_2=-1，x_3=2，x_4=-2。 (1)①中填写的方程是_______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想。 (2)已知实数x，y满足(x^2+y^2+3)^2-7x^2-7y^2-3=26，求x^2+y^2的值； (3)解方程：(x^2+x)^2-4(x^2+x)-12=0。
答案
解析
(1) 设 y=x^2，则 x^4=y^2，原方程化为 y^2-5y+4=0。 (2) 令 t=x^2+y^2，则 t≥0。原方程化为 (t+3)^2-7t-3=26，即 t^2+6t+9-7t-3-26=0，整理得 t^2-t-20=0，所以 (t-5)(t+4)=0，解得 t=5 或 t=-4。因为 t=x^2+y^2≥0，所以 t=-4 舍去，故 x^2+y^2=5。 (3) 令 u=x^2+x，则原方程化为 u^2-4u-12=0，所以 (u-6)(u+2)=0，解得 u=6 或 u=-2。 当 u=6 时，x^2+x=6，即 x^2+x-6=0，解得 x=-3 或 x=2； 当 u=-2 时，x^2+x=-2，即 x^2+x+2=0，因为 Δ=1^2-4×1×2=-7<0，所以该方程无实数根。 因此原方程的解为 x_1=-3，x_2=2。
分值（原卷上的分值）
状态
确认无误
仍需确认
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