家庭中考数学指南
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修改第 12 题
题干
12．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）阅读下列材料，解答问题： 换元法：把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题．请利用“换元法”解决以下问题： (1)解方程：(x^2-x)^2-4(x^2-x)-12=0； (2)已知实数x，y满足(x^2+y^2)(x^2+y^2-12)=45，求x^2+y^2的值； (3)解方程：x^2-3|x|+2=0； (4)解方程：(4x-5)^2+(3x-2)^2=(x-3)^2．
答案
解析
(1)设t=x^2-x，则原方程化为t^2-4t-12=0，即(t-6)(t+2)=0，所以t=6或t=-2。 当t=6时，x^2-x=6，即x^2-x-6=0，解得x=3或x=-2； 当t=-2时，x^2-x=-2，即x^2-x+2=0，其判别式Δ=1-8=-7<0，无实数根。 所以原方程的解为x=3或x=-2。 (2)设u=x^2+y^2，则u≥0。原方程化为u(u-12)=45，即u^2-12u-45=0，解得u=15或u=-3。 因为u≥0，所以u=15，即x^2+y^2=15。 (3)设t=|x|，则t≥0，且x^2=t^2。原方程化为t^2-3t+2=0，即(t-1)(t-2)=0，解得t=1或t=2。 当|x|=1时，x=±1；当|x|=2时，x=±2。 所以原方程的解为x=±1或x=±2。 (4)设a=4x-5，b=3x-2，则a-b=(4x-5)-(3x-2)=x-3。 原方程化为a^2+b^2=(a-b)^2，展开得a^2+b^2=a^2-2ab+b^2，所以ab=0。 于是4x-5=0或3x-2=0，解得x=5/4或x=2/3。
分值（原卷上的分值）
状态
确认无误
仍需确认
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